2019考研数学线性代数知识点总结

2019-9-4 16:50:00   无忧考网     [ 手机版 ] [ 下载Word文档 ]
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  【导语】在决定考研后,同学们要做的事情就是了解考试科目的知识点内容,做到知己知彼,这样才能够掌握考试,取得好的成绩,考研数学也是如此。无忧考网为大家整理了一些线性代数的知识点,分享给备考的同学们。


  【行列式】





  1、行列式本质——就是一个数


  2、行列式概念、逆序数


  考研:小题,无法联系其他知识点,当场解决。


  3、二阶、三阶行列式具体性计算


  考研:不会单独出题,常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。


  4、余子式和代数余子式


  考研:代数余子式的正负是一个易错点,了解代数余子式才能学习行列式展开定理。


  5、行列式展开定理


  考研:核心知识点,必考!


  6、行列式性质


  考研:核心知识点,必考!小题为主。


  7、行列式计算的几个题型


  ①、划三角(正三角、倒三角)


  ②、各项均加到第一列(行)


  ③、逐项相加


  ④、分块矩阵


  ⑤、找公因


  这样做的目的,在行/列消出一个0,方便运用行列式展开定理。


  考研:经常运用在找特征值中。


  ⑥数学归纳法


  ⑦范德蒙行列式


  ⑧代数余子式求和


  ⑨构造新的代数余子式


  8、抽象型行列式(矩阵行列式)


  ①转置


  ②K倍


  ③可逆


  ③伴随


  ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型


  (这部分内容放在第二章,但属于第一章的内容)


  考研:出小题概率非常大,抽象性行列式与行列式性质结合考察。


  【矩阵】





  1、矩阵性质


  考研:与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。


  2、数字型n阶矩阵运算


  ①方法一:秩是1


  ②方法二:含对角线上下三角为0的矩阵


  ③方法三:利用二项式定理,拆写成E+B型


  ④方法四:利用分块矩阵


  ⑤方法五:P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2


  方法五涉及相似对角化知识。


  方法三涉及高中知识。


  考研:常见在大题出现,是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算,一定出自这5个方法。


  3、伴随矩阵


  考研:伴随矩阵常与其他知识考察,与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。


  4、二阶矩阵的伴随矩阵


  法则:主对角线互换、副对角线填负号。


  考研:如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵,难点转化成如何计算它的伴随矩阵。


  5、可逆矩阵两种求法


  考研:可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。


  6、分块矩阵


  考研:以小题出现


  7、初等矩阵


  考研:小题出现


  8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵


  考研:第二章先知道张什么模样,这部分内容在二次型、相似对角化考察。


  9、秩(十个公式)


  考研:把秩比作答题的第二种方法,在解决向量、方程组等相关知识点,可以用传统方法(解题速度慢),也可用秩,解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。


  【向量】


  1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)


  考研:考单位化,但是如果想理解线性代数本质,向量内积、向量的长度要懂。


  2、线性相关、无关的三大判别方法


  ⑴、利用行列式


  ⑵、向量个数>维度,必相关


  ⑶、利用秩


  考研:小题出现,很少结合其他章节知识点。


  3、线性相关无关证明题三种思路


  ⑴、利用定义法


  ⑵、用秩


  ⑶、反证法


  考研:大题考点,这部分内容可以与线性方程组结合,也可以与特征值特征向量结合,也可以与秩结合。至于如何结合,怎么结合,请自己归纳总结。


  4、线性表出四大判别方法


  ⑴、利用行列式


  ⑵、利用秩


  ⑶、利用定义


  ⑷、利用方程组


  考研:可小题、可大题,但是通是大题的某一问。


  5、克拉默法则


  考研:服务线性表出。


  6、线性表出计算题三大思路


  ⑴、利用克拉默法则


  ⑵、构建方程组,抓0思想


  ⑶、与向量组结合考等价。


  考研:大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。


  这部分内容涉及重要的数学思想:分类讨论!!!(大题爱考)


  7、线性表出证明题四个理论


  考研:大题小题都有,但是近几年小题居多。


  8、极大线性无关组


  考研:核心考点内容和2、3知识点一样,换汤不换药


  9、等价向量组


  考研:小题居多,很少与其它章节知识点结合。


  【线性方程组】


  1、基础解系


  (不懂就背下来,我当时考研到10月份才茅塞顿开。)


  2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组


  ⑴、常规求解


  ⑵、解含参数的方程组


  (这部分内容最难在于化简,矩阵基础要牢固!!)


  ⑶、利用解的三个性质


  ⑷、通过矩阵运算,构造方程组再求解


  考研:大题核心考点,历年考题向量和方程组会出其中一道,而方程组的出题概率高于向量!原因如下


  ①、解题方法多。


  ②、能与矩阵相关知识联系结合。


  3、公共解、同解两种题型


  考研:重要考点题!


  【特征值与特征向量】





  1、特征值相关概念与计算


  考研:必考题,这里面难点不在于特征值相关知识,而在于求解行列式相关知识。


  2、特殊特征值


  ⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。


  ⑵、秩为1的矩阵


  ⑶、某个矩阵拆分后,利用⑴和⑵结合。


  3、相似矩阵概念及性质


  考研:不会单独出,但一定会结合其他题目


  4、相似矩阵两种考题


  如果P-1AP=B


  ⑴若Aλ=λa→B(P-1a)=λ(P-1a)


  ⑵若Ba=λa→A(Pa)=λ(Pa)


  考研:这部分内容是内容5的基础,但是如果单独出考题,不太可能。


  5、对角矩阵的相似问题


  核心内容:“搭桥”桥是Λ。


  考研:核心重点考点!


  本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量,性质方面也可全面考察。


  6、反对称矩阵


  考研:小题


  7、实对称矩阵以及正交矩阵


  考研:也是重要考点,大部分知识和前面一样,不同之处在于多一个史密斯正交化。


  【二次型】


  1、二次型相关概念


  内容和微分方程有异曲同工之妙,记忆的内容比较多,但比较简单。


  考研:出小题,比如填写一个负惯性指数。


  2、矩阵的等价、相似、合同


  考研:出小题,一定不可能出大题的。


  3、化二次型为标准型、正定问题


  考研:核心重点考点,内容本身没什么难度,只是把前面所有的知识综合起来。


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